小菜学编程
众所周知，计算机内部采用二进制来表示和处理数据。这是因为很多理想的物理介质，状态都有二元特性。
- 磁性物质：有磁性，或无磁性；
- 电压：高电压，或低电压；
- 灯泡：亮，或不亮；
由于这样显著的二元特征，采用二进制数系统，也就不奇怪了。在二进制中，只有两个数字 0 和 1 ，可以由其中的一种状态来表示。由于二进制中只有两个数字，因此采用逢二进一，可类比十进制中的逢十进一。
二进制
如果我们有一个灯泡，可以规定当它亮时表示 1 ，不亮时表示 0 ：
由此，我们得到一个最小化的整数存储系统。只是它的表示范围有限，只能表示 0 或 1 。
想要表示更多整数，我们需要更多灯泡。先增加一个灯泡试试：
两个灯泡亮灭状态总过有 $2^2=4$ 种组合，因此可以用来表示 4 个数值。我们可以规定：
- 两个灯泡全灭表示 0 ；
- 仅右边灯泡亮表示 1 ；
- 仅左边灯泡亮表示 2 ；
- 两个灯泡全亮表示 3 ；
不知您发现了没有，右边灯泡代表 1（ $2^0$ ），可类比十进制中的个位；左边灯泡代表 2（ $2^1$ ），可类比十进制中的十位。只不过十进制中，每一位都是 10 的 n 次幂，而二进制中则是 2 的 n 次幂。
接下来再加一个灯泡，来考察 3 位二进制数中，每一位跟 2 的幂之间的关系：
- 左边灯泡代表 $2^2$ ，也就是 4 ；
- 中间灯泡代表 $2^1$ ，也就是 2 ；
- 右边灯泡代表 $2^0$ ，也就是 1 ；
灯泡亮代表这位为 1 （加上对应幂），灭代表 0 。因此，3 位二进制数可以表示的数字范围是：
- 灯泡全灭时为最小值： $0\times2^2 + 0\times2^1 + 0\times2^0 = 0$ ；
- 灯泡全亮时为最大值： $1\times2^2 + 1\times2^1 + 1\times2^0 = 4 + 2 + 1 = 7$ ；
因此，我们可以得出结论：n 位二进制数可以表示 $2^n$ 个数值，以 0 为最小值，则最大值是 $2^n-1$ 。
最后，再考察下 8 位二进制数，进一步加深理解：
- 可表示 $2^8 = 256$ 个数值；
- 最小值为： 0 ；
- 最大值为： $2^8-1 = 255$ ；
由此可见，二进制跟十进制原理是相通的，只不过是进制从 10 变成 2 。
| 项目 | 十进制 | 二进制 |
|---|---|---|
| 进制 | 10 | 2 |
| 相邻位相差倍数 | 10 | 2 |
| 右数第 n 位代表的数值（从 0 开始） | $10^n$ | $2^n$ |
| 个位代表的数值（右数第 0 位） | $10^0 = 1$ | $2^0 = 1$ |
| 十位代表的数值（右数第 1 位） | $10^1 = 10$ | $2^1 = 2$ |
| 百位代表的数值（右数第 2 位） | $10^2 = 100$ | $2^2 = 4$ |
| n 位数个数 | $10^n$ | $2^n$ |
| n 位数最大值 | $10^n-1$ | $2^n-1$ |
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