小菜学编程
上节，我们对加法器进行优化，让它支持减法运算。那么，有办法让它也支持 负数 运算吗？
开始探讨解决方案之前，我们先研究：如何用二进制位来表示负数？常见方法有以下三种：
- 原码（ true form ）
- 反码 ，又称为 一的补码（ 1’s complement ）
- 补码 ，又称为 二的补码（ 2’s complement ）
原码
跟正数一样，负数也需要转成二进制，保存在比特位中，负号也不例外。因此，我们可以将最左边的比特位拿来做符号位，0 表示正数，1 表示负数。以 8 位二进制整数为例，
- 最高位（第 7 位，也是最左位）表示符号；
- 低 7 位（第 0~6 位）保存绝对值；
原码是人脑最容易理解和计算的表示方式，但不利于设计运算电路，因此极少使用。至于为什么很难设计原码负数运算电路，可以自己思考一下。
首先，减法运算可以转化成加法运算，减负数等价于加上对应正数，减正数等价于加上对应负数。我们做带负数的加法运算时，需要先对操作数取绝对值，并对比大小。根据操作数符号和绝对值大小，决定做加法或减法运算。结果的符号也是由绝对值大的操作数决定。
想要实现这样的运算电路，不容易吧……
反码
反码表示法也是用第一位来表示符号，其余部分保存绝对值。不同的是，负数先对绝对值求一的补数（又称为反码）后再保存：
您可能会好奇，为什么负数绝对值要先求反码后再保存呢？
请看上图，正数和对应的负数绝对值加起来等于一串 1 ，这有利于运算电路的设计。不过反码还不是最便于电路设计的表示形式，而是即将粉墨登场的——补码。
补码
我们的目标很明确：以最低的成本，最好是零成本，让上节改进过的加法器进一步支持负数运算。那这是否意味着，我们可以采用反向推理的思路，来寻找问题的答案呢？
我们知道，一个整数 a ，加上它的负数 -a ，结果等于零：
$a + (-a) = 0$
请思考一下，如果加法器 A 端输入 a ，B 端输入一个什么数 x ，才能使得加法器输出的结果 S 为 0 呢（忽略进位输出）？我们只要找到 x ，就找到负数 -a 的最佳表示法！
我们刚学过反码表示法，整数和对应的负数相加，结果等于一串 1 。而一串 1 再加上 1 ，结果就会变成一串 0 ，并且产生一个进位输出。如果将产生的进位忽略，加法器便支持负数运算了！
是的！我们已经找到了负数的最佳表示形式——在反码的基础上加一：
请看上图，试试将整数和对应的负数相加，得到的结果刚好为零！虽然会产生进位输出，但我们可以将其忽略。这就是计算机采用补码来表示负数的原因，处理器运算电路大大简化了！
实际上，我们还可以通过另一个思路来反推补码表示法。众所周知，负数等于零减去对应的正数：
$-a = 0 - a$
而上节中的加法器已经支持减法，用它来计算 0 和正数 a 的差，会产生溢出错误 F 。如果将溢出错误忽略，将结果看做负数 -a ，加法器也就很自然的支持了负数运算了！
那么，此时加法器输出什么呢？由于输入端 A 为 0 ，因此结果为输入端 B 和进位输入 CI 之和。而输入端 B 又是 a 取反而来，CI 则等于 1 ，因此输出的结果就是 $\overline{a}+1$ ，其中 $\overline{a}$ 表示 a 取反。
由此，我们再次得到负数的最佳表示法：负数等于对应正数取反后再加一。这样一来，一个正数 a 与对应的负数相加，结果为 $a + \overline{a} + 1$ ，等于一串 1 再加上 1 ，最终结果等于 1 后面带着一串 0 。
换句话讲，负数其实是用 10000… 减去对应正数来表示的，其中 0 的个数由位数决定。我们以 8 位为例，-10 可以这样表示：
$100000000_{(256)} - 00001010_{(10)} = 11110110_{补码}$
这也是补码又称为 二的补数 的原因，100000000 最前面的 1 代表 2 的幂。而反码是和一串 11111111 的差值，则被称为 一的补数 。是的，一的补数中的一，指的就是 11111111 。
$11111111_{(255)} - 00001010_{(10)} = 11110101_{反码}$
最后，我们以 8 个二进制位为例，来考察一下补码的表示范围。众所周知，8 位无符号二进制数可以表示的范围是从 0 到 255 ，列举如下表：
| 二进制位 | 十进制（无符号） |
|---|---|
| 00000000 | 0 |
| 00000001 | 1 |
| 00000010 | 2 |
| … | … |
| 11111101 | 253 |
| 11111110 | 254 |
| 11111111 | 255 |
8 个位用来表示有符号整数，正数要减半，因为另一半要用来表示负数：
| 二进制位 | 十进制（有符号） |
|---|---|
| 00000000 | 0 |
| 00000001 | 1 |
| 00000010 | 2 |
| … | … |
| 01111101 | 125 |
| 01111110 | 126 |
| 01111111 | 127 |
| 10000000 | -128 |
| 10000001 | -127 |
| 10000010 | -126 |
| … | … |
| 11111101 | -3 |
| 11111110 | -2 |
| 11111111 | -1 |
因此，8 位有符号二进制数可以表示的范围是从 -128 到 127 。
这种表示方式，虽然对我们来说并不直观，但对计算机来说却非常友好！举个例子，1 加上 -1 ，等价于 $00000001+11111111 = 100000000$ ，忽略最前面的进位，刚好就是结果零！
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