小菜学编程
我们已经完成加法器设计，那么减法运算又该如何实现呢？
借位减法
开始研究这个问题之前，我们先来回顾减法的计算步骤。跟加法运算一样，减法也是从右往左，逐位相减。如果被减数比减数小，就得从更高位借位。我们来请看一个例子：
先计算个位，由于被减数个位 3 比减数 6 小，需要从十位借一位。借了一位后变成 13 ，减去 6 等于 7 。接着计算十位，由于被个位借了 1 ，只剩 2 ，再减去 1 ，得到结果为 1 。
如果左边的位为 0 ，则需要再往左边借位，举个例子：
被减数个位比减数小，需要从十位借位。由于十位为 0 ，无从借起，只能从百位借位。
借位规避
由于常规减法运算需要借位，这意味着我们需要设计一个全新的减法电路。
由于减法借位跟加法进位其实非常相像，只是方向刚好相反。那么，是否能够对减法运算稍加修改，将借位改成进位，从而复用加法器的功能呢？
我们先来研究避免借位的减法运算步骤，以 $103-45$ 为例可以这样转换：
$103 - 45 = 103 - 45 + 1000 - 1000 = 103 + (999-45) + 1 - 1000$
- 我们先计算 $999-45 = 954$ ，被减数 999 每个位都是最大的，因此不用借位；
- 我们计算 $103+954+1 = 1058$ ；
- 最后我们减去 1000 ，即忽略掉千位上的借位，即可得到最终的答案 58 ；
顺便解释下几个概念：
- 999 是一个特数值，每一位均为对应进制的最大数字，位数由被减数和减数决定；
- $999-45 = 954$ ，从一串 9 减去一个数得到的数值叫做 9 的补数；
954 是 45 的 9的补数 。
二进制版本
同理，二进制减法运算亦可规避借位。只是一串 9 要换成一串 1 ，因为二进制中最大的数字是 1 。我们以 10 减去 7 为例，演示一下运算过程：
- 被减数：10 ，二进制为 1010 ；
- 减数：7 ，二进制位 111 ；
- 特数值为 1111 ，因为被减数有 4 位；
运算步骤如下：
- 对 111 求 1 的补数，即计算 $1111-111$ 的值，得到 1000 ；
- 然后跟被减数相加：$1010+1000 = 10010$ ；
- 再加上 1 ：$10010+1=10011$ ；
- 最后，减去 10000 （忽略最左边的进位），即可得到最终结果 11 ，即十进制 3 ；
最后，我们再列出换算的过程，进一步加深理解：
- $1010 - 111$
- $1010 - 111 + 10000 - 10000$
- $1010 - 111 + 1111 + 1 - 10000$
- $1010 + (1111 - 111) + 1 - 10000$
请看最后一个式子，括号部分为对减数求 1 的补数，对应计算步骤①；跟被减数和 1 相加，对应计算步骤②和③；最后减去 10000 ，对应计算步骤④。
一的补数
借位规避算法需要先对减数求一的补数，因此我们需要设计一个新电路来完成这个工作。
由于 1 减去 0 结果为 1 ，减去 1 结果为零，可见结果每一位跟减数刚好相反。因此，我们只需用一排非门即可实现一补数的计算电路。电路以减数为输入，输出它的一补数：
这个电路就是所谓的 反相器（ inverter ），通常可以封装成一个独立芯片。芯片包含 n 个输入和 n 个输出，每个输出和对应的输入刚好相反。
可控反相器
反相器还可以做成可控的，由一个输入端 E （ enabled ）控制是否对输入取反：
- 当 E 输入 1 时，对输入进行取反，结果输出跟输入相反；
- 当 E 输入 0 时，不对输入进行取反，结果输出跟输入保持一致；
我们可以采用一排 异或门 来实现这个电路，因为异或门有这样的特性：
- 当一个输入为 0 ，输出结果跟另一个输入保持一致；
- 当一个输入为 1 ，输出结果跟另一个输入刚好相反；
以 8 位可控反相器为例，可以用 8 个异或门来实现：
控制端 E 接到每个异或的输入①，数据分别接到每个异或门的输入②，这样一来：
- 当控制端 E 输入 0 时，电路的输出结果跟输入的数据保存一致；
- 当控制端 E 输入 1 时，电路的输出结果跟输入的数据刚好相反；
由此，我们得到一个可控反相器：仅当 E 端输入 1 时，电路才对输入数据进行取反；否则原样返回。
我们为什么要制造可以控制的反相器呢？稍安勿躁，马上就可以看到它的用途了！
支持减法的加法器
我们知道，减法运算可以转化成加法运算，从而避免借位，复用加法器功能。以 $a-b$ 为例，结果为 $a + \overline{b} + 1$ ，其中 $\overline{b}$ 为减数 b 的一补数，可以通过反相器获得。因此，我们可以利用加法器来做减法运算：
- 被减数 a 接到加法器的 A 输入端（对应公式中的 a ）；
- 减数 b 先接到反相器求一补数，再将结果接到加法器的 B 输入端（对应公式中的 $\overline{b}$ ）；
- 加法器进位输入 CI 输入常量 1 （对应公式中的 1 ）；
这样一来，我们就在加法器的基础上，得到一个专门做减法计算的减法器。为减少冗余，我们还可以引入一个控制开关，将二者合二为一。具体怎么做呢？我们先来梳理一下加减法运算的差异：
| 运算 | A | B | CI |
|---|---|---|---|
| 加法 | a | b | 0 |
| 减法 | a | $\overline{b}$ | 1 |
- a 总是输入到加法器 A 输入端；
- b 总是输入到加法器 B 输入端，做减法时需要取反；
- 做加法运算时，加法器 CI 输入端输入 0 ，做减法运算时输入 1 ；
因此，我们可以引入一个开关 SUB ，来控制电路做加法运算还是减法运算：
- SUB 输入 0 ，表示做加法运算；
- SUB 输入 1 ，表示做减法运算；
根据上面表格，我们只需将 SUB 接到 CI ，将 b 接到可控反相器即可。可控反相器的控制端 E 由 SUB 控制，只有做减法运算时，才对 b 进行取反；否则原样返回。完整电路如下：
请注意，如果加法运算产生 CO 进位输出，代表运算结果超出和 S 的表示范围，这种情况叫做 上溢（ overflow ）。以 8 位加法器为例，$255 + 1 = 256$ 超过 8 位二进制数的表示范围。
此外，我们将减法运算转换成加法后，加法器必须产生 CO 进位，代表最后减去的那个数。但当减数比被减数大时，加法器就不会产生 CO 进位输出，这种情况叫做 下溢（ underflow ）。
因此，上面电路将加法器的进位输出 CO 和 SUB 接到一个异或门，来判断计算结果是否溢出：
| 运算 | SUB | CO | F | 备注 |
|---|---|---|---|---|
| 加法 | 0 | 0 | 0 | 正常 |
| 加法 | 0 | 1 | 1 | 上溢 |
| 减法 | 1 | 0 | 1 | 下溢 |
| 减法 | 1 | 1 | 0 | 正常 |
至此，我们得到一个更为强大的加法器，它既能做加法运算，又能做减法运算，由开关 SUB 控制。然而，它现在还不能处理负数，减数比被减数大就造成下溢异常。
下一小节，我们继续研究如何表示负数，以及如何将我们的加法器支持负数计算，敬请期待！
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